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Angles : exercices corrigés de maths 6ème

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Exercices corrigés de maths en 6ème : Angles — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Corrigés rédigés des exercices du chapitre. Vérifie chaque étape, puis corrige-toi.

1 Vocabulaire d’un angle ★★★

  1. Le sommet est le point d’où partent les deux demi-droites : c’est \(K\).
  2. Les côtés sont les demi-droites \([KM)\) et \([KN)\).
  3. On écrit la lettre du sommet au milieu : \(\widehat{MKN}\) ou \(\widehat{NKM}\).

2 Droit, aigu, obtus ou plat ? ★★★

  • \(90^\circ\) : angle droit.
  • \(35^\circ\) : plus petit que \(90^\circ\), c’est un angle aigu.
  • \(180^\circ\) : angle plat.
  • \(143^\circ\) : entre \(90^\circ\) et \(180^\circ\), c’est un angle obtus.
  • \(89^\circ\) : juste en dessous de \(90^\circ\), c’est un angle aigu.
  • \(91^\circ\) : juste au-dessus de \(90^\circ\), c’est un angle obtus.

3 Lire sur le rapporteur ★★★

  1. Le côté \([Oy)\) traverse la graduation \(40\) de l’échelle qui commence par le zéro de \([Ox)\) : \(\widehat{xOy} = 40^\circ\).
  2. Sur l’autre échelle, on lit \(140\) (car \(180 - 40 = 140\)). Cette échelle commence à zéro de l’autre côté du rapporteur : elle ne convient pas. De plus, l’angle est visiblement plus petit qu’un angle droit, donc \(140^\circ\) est impossible.

4 Vrai ou faux ? ★★★

  1. Vrai : c’est la définition de l’angle droit.
  2. Faux : un angle obtus mesure entre \(90^\circ\) et \(180^\circ\), il est plus grand qu’un angle droit.
  3. Vrai : un angle plat mesure \(180^\circ\) et ses côtés forment une ligne droite.
  4. Faux : \(89^\circ\) est inférieur à \(90^\circ\), c’est un angle aigu.

5 Les aiguilles de l’horloge ★★★

  1. Entre le \(12\) et le \(6\), l’angle plat vaut \(180^\circ\). Il est partagé en \(6\) angles égaux : \(180 \div 6 = 30\). Deux heures consécutives forment donc un angle de \(30^\circ\).
  2. À \(3\) h : \(3\) intervalles, donc \(3 \times 30 = 90^\circ\) (angle droit). À \(6\) h : \(6 \times 30 = 180^\circ\) (angle plat). À \(1\) h : \(1 \times 30 = 30^\circ\) (angle aigu).

6 Quatre angles à classer ★★★

  1. \(A\) mesure \(20^\circ\) : aigu. \(B\) mesure \(100^\circ\) : obtus. \(C\) est marqué d’un carré : angle droit (\(90^\circ\)). \(D\) mesure \(160^\circ\) : obtus.
  2. On compare les mesures : \(20^\circ < 90^\circ < 100^\circ < 160^\circ\). L’ordre est donc \(A\), \(C\), \(B\), \(D\).

7 Nommer un angle ★★★

  1. La lettre du sommet est au milieu : \(\widehat{RST}\) ou \(\widehat{TSR}\).
  2. Le sommet est la lettre du milieu : c’est \(R\).
  3. Non : le premier a pour sommet \(S\), le second a pour sommet \(T\). Ce sont deux angles différents.

8 Construire deux angles ★★★

  1. On trace \([OA)\), on pose le centre du rapporteur en \(O\) et le zéro sur \([OA)\). Sur l’échelle qui part de ce zéro, on marque le point à la graduation \(50\), puis on trace \([OB)\) en passant par ce point. L’angle \(\widehat{AOB}\) est aigu.
  2. On procède de même : \([OC)\) est tracé, le zéro est posé sur \([OC)\), on marque la graduation \(130\) de la même échelle et on trace \([OD)\). L’angle \(\widehat{COD}\) est obtus.

9 Du plus petit au plus grand ★★★

On compare les mesures : \(18^\circ < 38^\circ < 47^\circ < 74^\circ < 90^\circ < 105^\circ\).

L’angle de \(90^\circ\) est droit, celui de \(105^\circ\) est obtus. Les quatre autres (\(18^\circ\), \(38^\circ\), \(47^\circ\), \(74^\circ\)) sont inférieurs à \(90^\circ\) : il y a \(4\) angles aigus.

10 Quel est le plus grand ? ★★★

  1. L’angle ① mesure \(35^\circ\) et l’angle ② mesure \(60^\circ\).
  2. Comme \(60 > 35\), le plus grand angle est l’angle ②. Léo a tort : la longueur des côtés dessinés ne change pas l’angle, seule compte l’ouverture entre les deux côtés.

11 Angle droit et angle plat coupés ★★★

  1. Les deux angles sont adjacents et forment un angle droit : \(\widehat{BOC} = 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ\).
  2. Ils forment un angle plat : \(\widehat{EOF} = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ\).
  3. \(53^\circ\) et \(68^\circ\) sont tous deux inférieurs à \(90^\circ\) : ce sont des angles aigus.

12 Calculs avec la bissectrice ★★★

  1. La bissectrice partage l’angle en deux angles égaux : \(\widehat{xOz} = 76 \div 2 = 38^\circ\).
  2. \(\widehat{tNp} = \widehat{mNt} = 29^\circ\), donc \(\widehat{mNp} = 29 + 29 = 58^\circ\).
  3. \(180 \div 2 = 90\) : chaque angle mesure \(90^\circ\), ce sont deux angles droits.

13 Attention à l’échelle ! ★★★

  1. Les deux échelles s’additionnent à \(180\) : \(180 - 55 = 125\). On lit donc \(125\) sur l’échelle intérieure.
  2. Le zéro est sur \([Ox)\) sur l’échelle intérieure : on doit lire sur cette échelle. Donc \(\widehat{xOy} = 125^\circ\). L’angle est plus grand qu’un angle droit : c’est un angle obtus.

14 L’écran de l’ordinateur ★★★

  1. \(115^\circ\) est compris entre \(90^\circ\) et \(180^\circ\) : l’angle est obtus.
  2. \(115 - 40 = 75\) : l’écran forme un angle de \(75^\circ\), un angle aigu.
  3. \(115 - 90 = 25\) : il doit refermer l’écran de \(25^\circ\).

15 La rose des vents ★★★

  1. Entre le Nord et l’Est, il y a \(2\) intervalles pour \(90^\circ\) : \(90 \div 2 = 45\). Deux directions voisines forment un angle de \(45^\circ\).
  2. Du Nord-Est au Sud : \(3\) intervalles (Est, Sud-Est, Sud), soit \(3 \times 45 = 135^\circ\). Du Sud-Ouest au Nord-Ouest : \(2\) intervalles (Ouest, Nord-Ouest), soit \(2 \times 45 = 90^\circ\).
  3. Du Nord au Sud, il y a \(4\) intervalles : \(4 \times 45 = 180^\circ\). C’est un angle plat.

16 Bissectrice à construire ★★★

On construit \(\widehat{xOy} = 84^\circ\) avec le rapporteur, le zéro sur \([Ox)\).

La bissectrice partage l’angle en deux angles égaux de \(84 \div 2 = 42^\circ\). On place donc le point à la graduation \(42\) de la même échelle et on trace \([Oz)\). Contrôle : \(\widehat{zOy}\) mesure aussi \(42^\circ\), car \(84 - 42 = 42\).

42°42°xyzO

On code les deux angles égaux avec des arcs identiques.

17 Trois angles sur une droite ★★★

  1. Les trois angles adjacents forment l’angle plat \(\widehat{DOA}\) de \(180^\circ\) : \(\widehat{DOC} = 180 - 80 - 35 = 65^\circ\).
  2. \(\widehat{DOB} = \widehat{DOC} + \widehat{COB} = 65 + 80 = 145^\circ\). \(\widehat{COA} = \widehat{COB} + \widehat{BOA} = 80 + 35 = 115^\circ\).
  3. \(\widehat{DOC} = 65^\circ\), \(\widehat{COB} = 80^\circ\) et \(\widehat{BOA} = 35^\circ\) sont aigus. \(\widehat{DOB} = 145^\circ\) et \(\widehat{COA} = 115^\circ\) sont obtus.

18 Vrai ou faux, justifie ★★★

  1. Faux : la longueur des côtés dessinés n’a aucun rapport avec la mesure de l’angle, car les côtés sont des demi-droites.
  2. Vrai : \(90 \div 2 = 45\), chaque angle mesure \(45^\circ\).
  3. Vrai : par exemple \(50^\circ + 70^\circ = 120^\circ\), qui est obtus.
  4. Faux : un angle obtus est inférieur à \(180^\circ\), donc sa moitié est inférieure à \(90^\circ\). Les deux angles obtenus sont aigus.

19 La demi-pizza ★★★

  1. L’angle plat vaut \(180^\circ\) : \(180 \div 6 = 30\). Chaque part forme un angle de \(30^\circ\).
  2. Tom : \(2 \times 30 = 60^\circ\), angle aigu. Léa : \(3 \times 30 = 90^\circ\), angle droit.
  3. Il reste \(6 - 2 - 3 = 1\) part, soit \(30^\circ\). On vérifie : \(60 + 90 + 30 = 180\).

20 Le bras du robot ★★★

  1. \(65 + 40 = 105\) : le bras forme un angle de \(105^\circ\) avec l’horizontale. C’est un angle obtus.
  2. Un angle plat vaut \(180^\circ\) : \(180 - 105 = 75\). Il doit encore tourner de \(75^\circ\).
  3. La verticale correspond à \(90^\circ\) : \(105 - 90 = 15\). Il doit revenir de \(15^\circ\).

21 Bissectrices en cascade ★★★

  1. \(\widehat{AOC} = 90 \div 2 = 45^\circ\). Puis \(\widehat{AOD} = 45 \div 2 = 22{,}5^\circ\). Enfin \(\widehat{AOE} = 22{,}5 \div 2 = 11{,}25^\circ\).
  2. \([OD)\) est la bissectrice de \(\widehat{AOC}\), donc \(\widehat{DOC} = 22{,}5^\circ\). Les angles \(\widehat{DOC}\) et \(\widehat{COB}\) sont adjacents, avec \(\widehat{COB} = 45^\circ\) : \(\widehat{DOB} = 22{,}5 + 45 = 67{,}5^\circ\).
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