Les aiguilles d’une horloge, une porte qui s’ouvre, les branches d’un compas, un virage sur un circuit : partout, il y a des angles. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à les nommer, à les mesurer avec un rapporteur, à les construire, à les classer et à les comparer, puis à partager un angle en deux parties égales avec la bissectrice.
1. Vocabulaire des angles
Un angle est formé de deux demi-droites de même origine. L’origine commune s’appelle le sommet de l’angle, et les deux demi-droites sont ses côtés.
Cet angle se note \(\widehat{xOy}\) (ou \(\widehat{yOx}\)) et se lit « angle \(xOy\) ». La lettre du sommet est toujours écrite au milieu. Avec trois points, l’angle de sommet \(B\) dont les côtés passent par \(A\) et par \(C\) s’écrit \(\widehat{ABC}\).
Pour mesurer un angle, on utilise le degré, noté « ° ». La mesure de l’angle \(\widehat{xOy}\) se note \(\widehat{xOy} = 55^\circ\) : on écrit le symbole ° et on ne met pas d’unité de longueur.
Une demi-droite est infinie : on n’en dessine qu’une partie. La mesure d’un angle ne dépend donc pas de la longueur des côtés tracés sur ta feuille.
2. Mesurer un angle avec le rapporteur
Un rapporteur est un demi-cercle gradué de \(0^\circ\) à \(180^\circ\). Il possède deux échelles de nombres : l’une part du zéro de droite, l’autre part du zéro de gauche. Il faut choisir la bonne !
- Pose le centre du rapporteur exactement sur le sommet de l’angle.
- Place le zéro d’une échelle sur l’un des côtés de l’angle.
- Lis la graduation que traverse l’autre côté, sur l’échelle qui commence par ce zéro.
- Contrôle avec la forme : un angle plus petit qu’un coin de feuille doit avoir une mesure inférieure à \(90^\circ\).
Sur la figure, le côté \([Ox)\) est sur le zéro de l’échelle extérieure. Le côté \([Oy)\) traverse la graduation \(65\) de cette même échelle (et le \(115\) de l’autre échelle).
L’angle est plus petit qu’un angle droit, donc \(\widehat{xOy} = 65^\circ\) et non \(115^\circ\).
Avant de lire, devine ! Si ton angle ressemble à un coin de feuille ouvert un peu trop, il est proche de \(90^\circ\). Si tu hésites entre deux nombres comme \(65\) et \(115\), ton œil choisit tout de suite le bon.
3. Construire un angle de mesure donnée
- Trace avec la règle une demi-droite \([Ox)\).
- Pose le centre du rapporteur sur \(O\) et le zéro sur \([Ox)\).
- Sur l’échelle qui commence à ce zéro, repère la graduation \(50\) et marque un petit point \(M\).
- Retire le rapporteur et trace la demi-droite \([OM)\) : elle forme avec \([Ox)\) un angle de \(50^\circ\).
- Marque l’angle avec un arc et écris sa mesure.
Construis l’angle \(\widehat{ABC}\) de \(125^\circ\), avec \(BA = 5\) cm.
On trace \([BA)\) avec \(BA = 5\) cm. On met le centre du rapporteur en \(B\) et le zéro sur \([BA)\). Sur l’échelle qui part de ce zéro, on repère \(125\) et on marque un point \(N\). On trace la demi-droite \([BN)\), puis on place \(C\) sur celle-ci. L’angle \(\widehat{ABC}\) mesure \(125^\circ\) : c’est un angle large, ouvert plus qu’un coin de feuille.
4. Angle droit, aigu, obtus, plat
Les angles sont rangés en quatre familles selon leur mesure.
| Nom | Mesure | Comment le reconnaître |
|---|---|---|
| Angle aigu | entre \(0^\circ\) et \(90^\circ\) | plus « fermé » qu’un coin de feuille |
| Angle droit | \(90^\circ\) | exactement un coin de feuille ou d’équerre |
| Angle obtus | entre \(90^\circ\) et \(180^\circ\) | plus « ouvert » qu’un coin de feuille |
| Angle plat | \(180^\circ\) | deux côtés dans le prolongement l’un de l’autre |
Pour vérifier qu’un angle est droit, on utilise l’équerre : on place son coin sur le sommet. On code un angle droit avec un petit carré.
5. Comparer des angles
De deux angles, le plus grand est celui qui a la plus grande mesure. Deux angles sont égaux quand ils ont la même mesure.
Range du plus petit au plus grand les angles de \(38^\circ\), \(124^\circ\) et \(90^\circ\), puis donne leur nature.
On compare les mesures : \(38 < 90 < 124\). L’ordre est donc \(38^\circ < 90^\circ < 124^\circ\). L’angle de \(38^\circ\) est aigu, celui de \(90^\circ\) est droit et celui de \(124^\circ\) est obtus.
On ne compare pas des angles avec la longueur de leurs côtés dessinés. Un angle aux côtés très longs peut être plus petit qu’un angle aux côtés courts : c’est l’écartement des côtés qui compte.
6. La bissectrice d’un angle
La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui part du sommet et qui partage l’angle en deux angles de même mesure.
Si \([Oz)\) est la bissectrice de \(\widehat{xOy}\), alors \(\widehat{xOz} = \widehat{zOy} = \dfrac{\widehat{xOy}}{2}\).
- Mesure l’angle : par exemple \(\widehat{xOy} = 70^\circ\).
- Divise sa mesure par \(2\) : \(70 \div 2 = 35\).
- Construis, à partir de \([Ox)\), un angle de \(35^\circ\) : son second côté est la bissectrice.
- Code les deux angles égaux avec des arcs identiques.
La demi-droite \([Ot)\) est la bissectrice de \(\widehat{mOn}\) et \(\widehat{mOt} = 28^\circ\). Quelle est la mesure de \(\widehat{mOn}\) ?
La bissectrice partage l’angle en deux angles égaux, donc \(\widehat{tOn} = 28^\circ\) et \(\widehat{mOn} = 28 + 28 = 56^\circ\).
7. Codage et vocabulaire
Sur une figure, on code ce que l’on sait pour ne pas avoir à l’écrire :
- un petit carré marque un angle droit ;
- deux angles qui portent le même nombre d’arcs sont égaux ;
- un arc simple, avec une valeur écrite, indique la mesure de l’angle.
Deux angles sont adjacents s’ils ont le même sommet, un côté commun, et s’ils sont situés de part et d’autre de ce côté commun.
Quand deux angles sont adjacents, on additionne leurs mesures pour obtenir celle de l’angle total : ici \(\widehat{AOC} = 50^\circ + 60^\circ = 110^\circ\). Deux angles adjacents qui forment ensemble un angle plat ont pour somme \(180^\circ\), et ceux qui forment un angle droit ont pour somme \(90^\circ\).
À retenir
- Un angle a un sommet et deux côtés ; on le note avec trois lettres, celle du sommet au milieu : \(\widehat{xOy}\).
- On mesure en degrés avec un rapporteur : centre sur le sommet, zéro sur un côté, lecture sur la bonne échelle.
- Aigu : moins de \(90^\circ\) ; droit : \(90^\circ\) ; obtus : entre \(90^\circ\) et \(180^\circ\) ; plat : \(180^\circ\).
- Le plus grand angle est celui qui a la plus grande mesure, pas celui dont les côtés sont les plus longs.
- La bissectrice partage un angle en deux angles de même mesure : chacun vaut la moitié.
- Angles adjacents : on additionne les mesures.
